什么是正整数(什么是正整数集)

作者|刘扬州来源|来自知乎专栏《万物皆算》《数学英才》授权转载,在此致谢!

质数ABC质数,又称素数:质数是只有1和它自己的两个因子的自然数。大于1的非质数是合数,1既不是合数也不是质数。什么是正整数(什么是正整数集)

质数不能放在矩形里。

算术基本定理体现了素数的地位。定理1(算术基本定理)所有正整数都可以表示为素数的乘积。

不管素数的顺序如何,这种分解都是唯一的。

如果1也算素数,则素数分解不唯一。每一个正整数都像是质数组成的化合物,可以分解成最简单的质数原子。每个正整数的“化学式”都是唯一的。事实上,根据算术基本定理,我们可以将正整数写成以下形式:因此,我们可以仅通过指数列来表示任意正整数。质数的概念至少在古希腊就出现了。然而,两千年后,质数定律仍然没有完全展现在世人面前。因为素数定律几乎是随机的,没有人能准确预测下一个素数会落在哪里。古希腊数学家厄拉多塞的筛法是判断素数的最基本工具:定理2(埃利希筛法)如果一个素数不能被前面所有的素数整除,则这个素数是素数。之所以只需要检验前面的素数,是因为反比例函数是轴对称的。什么是正整数(什么是正整数集)

有无穷多个素数吗?欧几里德给出了一个神奇的证明:如果有有限个素数,那么所考虑的数显然不能被所有已知的素数整除。这时候有两种情况:如果是素数,但是(因为比已知素数大),这就和假设矛盾了;如果是合数,根据算术基本定理,一定有一个素数的素因子。但是,(因为已知的素数都是不能整除的),这就有矛盾了。所以假设不成立——定理3有无穷个素数!素数是整数乘法系统的基石。只要素数成立,很多命题自然对一般整数成立。因为素数是如此的不规则,所以相邻素数之间的距离也是数学家关心的问题。事实上,素数之间的距离可以任意大。只需要注意,如果下面的连续复合序列把素数之间的距离看成一个序列,那么这个序列中存在子列(所谓子列,从集合的角度来看是一个无穷元素的子集,但新序列的顺序仍然是按照原序列的下标从小到大排列的,比如奇数列是自然序列的子列,奇数按从小到大的顺序排列),这个子列趋于正无穷大。我们把这种现象表述为:孪生素数是指相差2的素数对。让我们在项后列出最小的素数间距,但没人知道这个数列中是否有2的结尾。也有可能素数间距不再小于或等于4、6、8,…或者当项数足够大时甚至趋于无穷大。2013年,张给出了一个让人放心的答案:这个数列不会超过7000万,也就是孪生素数猜想等价于:素数和等差数列也有独特的命运。定理4(狄利克雷定理)等差数列中有无数个素数。2004年,格林和陶哲轩也证明了素数中存在任意长度的等差数列。素数定理/图像-3/

背景是一个质数螺旋图。

我们把满足以下性质的数论函数命名为乘法函数:if,那么所有大于1的正整数都可以被素数因子分解,所以对于乘法函数来说,函数值可以转化为解的值。例如,欧拉函数表示不超过的正整数中互质的个数。欧拉函数是乘法函数:若引理5为,则证明:设为所有不超过且互质的数;它是一个不超过的数,并且是互质的。因为,至少有数和互质,也就是。反过来,互质的数一定是和互质的,可以用同样的方法构造。而且,可以解释。这很容易计算。因此,利用欧拉函数的乘法,可以得到推论6。如果有一个关于欧拉函数的著名定理,定理7,只需要做推论8(费马小定理),证明非常简单。顺带一提——定理9(威尔逊定理)是素数的充要条件。威尔逊定理也有很多变体:但是不实用。目前快速判别素数的计算机方法是基于费马小定理的逆命题。而逆命题不成立时有一个反例——伪素数,但其出现的概率极低。就连欧拉也感慨地说,“世界上有很多奥秘是人类的智慧无法解释的。如果你看看质量表,你会发现它是如此无序,毫无规则可言。”但欧拉以其非凡的洞察力,发现了如下公式:定理10:证明:证明只需使用等比例数列的公式:然后展开括号,:将原形式左右两边的项进行比较,不要一一重音或漏项。(绝对收敛级数的求和顺序不影响最终结果。)其实也可以用这个公式证明有无穷多个素数。假设素数是有限的,调和级数会发散。所以等式左右两边同时的极限是不相等的,也是矛盾的。利用高等数学的技巧,可以得到“时间”的特例:推论11。质数、自然数和圆周率有着奇妙的联系。当时人们并没有意识到欧拉恒等式的作用。另一方面,高斯和勒让德猜中了素数递进公式:定理12(素数定理)什么是正整数(什么是正整数集)

值得一提的是勒让德关于素数计数函数的公式:定理13(勒让德),:这个公式其实和欧拉函数公式有关(推论5)。如果把上面公式中等号右边的符号整个去掉,那么,怎么理解呢?因为对我来说,前面的数可以整除,也就是和不是质数;之后互质只能是新的素数。当然,这个有趣的推理其实是很不严谨的,而且是建立在一个很难实现的前提上——之前所有的素数都可以整除。直到黎曼解析地将欧拉定义的函数推广到复平面(挖出了这个奇点),一切才变得清晰。黎曼甚至给出了更精确的素数定理猜想,相当于我们现在所说的黎曼猜想:的所有非平凡零点都分布在这条直线上。原来的素数定理只需要证明:上面没有零点。这一事实终于在1896年被Adama和de la Vallebussan根据黎曼的思想,独立地使用先进的整函数理论证明。1949年,塞尔伯格和鄂尔多斯独立地给出了素数定理的初等证明。素数定理的证明

对素数的研究可能永远不会结束。质数就像一群调皮的孩子,可以随意画各种条条框框,却无法约束。但他偶尔也有听话可爱的一面,站在你不知道的零散地方,等待数学家去发现。

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